Verschillen - wat is dit? Hoe kan het differentieel van de functie te vinden?

Samen met derivaten hun functies differentiëlen - het sommige van de basisconcepten van de differentiële calculus, het hoofdgedeelte van wiskundige analyse. Zoals onlosmakelijk met elkaar verbonden, beiden enkele eeuwen veel gebruikt bij het oplossen van bijna alle problemen die zich in de loop van de wetenschappelijke en technische activiteit.

De opkomst van het concept van differentiële

Voor de eerste keer duidelijk gemaakt dat een dergelijk verschil, één van de oprichters (naast Isaakom Nyutonom) differentiaalrekening beroemde Duitse wiskundige Gotfrid Vilgelm Leybnits. Daarvoor wiskundigen 17e eeuw. gebruikte zeer onduidelijk en vaag voorstelling van een oneindig "ongedeelde" van elke bekende functie, die een zeer geringe constante waarde, maar niet gelijk aan nul, waaronder waarden de functie kan niet eenvoudigweg. Vandaar slechts één stap de introductie van begrippen oneindig kleine stappen van functieargumenten en hun respectievelijke stappen van de functies die kunnen worden uitgedrukt in termen van derivaten daarvan. En deze stap werd de bovenstaande twee grote wetenschappers genomen bijna gelijktijdig.

Op basis van de noodzaak om met spoed praktische mechanica problemen dat de wetenschap te confronteren aan te pakken snel ontwikkelende industrie en technologie, Newton en Leibniz creëerde de gangbare manieren van het vinden van de functies van de mate van verandering (vooral met betrekking tot de mechanische snelheid van het lichaam van de bekende traject), wat leidde tot de invoering van dergelijke concepten, de afgeleide functie en het differentieel en vond ook het algoritme inverse probleem oplossingen zich bekend (variabel) snelheden doorlopen van de baan die heeft geleid tot het concept van integrale voorbeeld Ala.

In het werk van Leibniz en Newtons idee voor het eerst bleek dat de verschillen - is evenredig met de toename van de basisargumenten Ah verhoogt Au functies die met succes kunnen worden toegepast op de waarde van deze berekening. Met andere woorden, hebben zij ontdekt dat een increment functie kan op elk moment (binnen het domein van definitie) wordt uitgedrukt door de afgeleide zowel Au = y '(x) Ah + αΔh waarbij α Ah - overige neiging tot nul Ah → 0, veel sneller dan de werkelijke Ah.

Volgens de oprichters van wiskundige analyse, de verschillen - dit is precies de eerste term in stappen van alle taken. Zelfs zonder een duidelijke grensbegrip sequenties intuïtief duidelijk dat de verschilwaarde van het derivaat neiging werkt wanneer Ah → 0 - Au / Ah → y '(x).

In tegenstelling tot Newton, die in de eerste plaats een natuurkundige en wiskundige apparaat beschouwd als een extra instrument voor de studie van lichamelijke problemen was, Leibniz besteed meer aandacht aan deze toolkit, met inbegrip van een systeem van visuele en begrijpelijke symbolen wiskundige waarden. Hij was die standaardnotering differentialen functie voorgesteld dy = y '(x) dx dx en de afgeleide van het argument functie als de verhouding y' (x) = dy / dx.

De moderne definitie

Wat is het verschil in termen van de moderne wiskunde? Het is nauw verwant aan het concept van een variabele increment. Als de variabele y draait met de eerste waarde van y y = _1, dan is y = _Y2, wordt het verschil _Y2 ─ y ₁ de toename y genoemd. De toename kan positief zijn. negatieve en nul. Het woord "increment" wordt aangewezen Δ, Au opname (door 'delta y') geeft de waarde van het increment y. zodat Au = _Y2 ─ _y1.

Als de waarde Au arbitraire functie y = f (x) kan worden weergegeven als Au = A Ah + α, waarbij A geen afhankelijkheid Ah, t. E. A = const voor de gegeven x en de term α wanneer Ah → 0 neigt het is zelfs sneller dan de werkelijke Ah, waarna de eerste ( "master") een proportionele term Ah, en is y = f (x) differentieel, aangeduid DY of df (x) (lees "y de", "de eff van X"). Daarom differentialen - a "main" rechtevenredig met de componenten incrementen Ah functies.

mechanische verklaring

Laat s = f (t) - de afstand in een rechte lijn beweegt materiaal punt van de beginpositie (t - reistijd). Increment As - dit punt weg gedurende het tijdinterval At, een differentiële ds = f '(t) At - is de weg die een plaats worden gehouden gelijktijdig At, indien behield de snelheid f' (t) tegen de tijd t . Wanneer een oneindig At ds denkbeeldige baan afwijkt van de werkelijke As oneindig met een relatief hoge orde At. Indien de snelheid op het tijdstip t niet gelijk is aan nul, de geschatte waarde ds kunnen kleine instelpunt.

meetkundige interpretatie

Laat de lijn L de grafiek van y = f (x). Vervolgens Δ x = MQ, Au = QM (zie. Figuur hieronder). Tangent MN breekt Au gesneden in twee delen, QN en NM'. Eerste en Ah evenredig QN = MQ ∙ tg (hoek QMN) = Ah f '(x), t. E QN is dy differentieel.

Het tweede deel van het verschil Au NM'daet ─ dy, wanneer Ah → 0 NM length 'afneemt zelfs sneller dan de toename van het argument, dat wil zeggen het heeft in de orde van kleinheid boven Ah. In dit geval, als f '(x) ≠ 0 (niet-evenwijdige raaklijn OX) segmenten QM'i QN equivalent; met andere woorden NM snel af (beschikking kleinheid van zijn hogere) dan de totale increment Au = QM. Dit blijkt uit figuur (benaderen segment M'k M NM'sostavlyaet alle kleiner percentage QM segment).

Dus, grafisch differentiële willekeurige functie is gelijk aan de toename van de ordinaat van de raaklijn.

Derivaat en differentiële

Een factor in de eerste termijn expressie increment functie is gelijk aan de waarde van de afgeleide f (x). Dus de volgende relatie - dy = f '(x) Ah of df (x) = f' (x) Ah.

Het is bekend dat de toename van de onafhankelijke argument gelijk aan het verschil Ah = dx. Dienovereenkomstig kunnen we schrijven: f '(x) dx = dy.

Het vinden van (soms gezegd dat de "beslissing" te zijn) differentials die wordt uitgevoerd door dezelfde regels als voor de derivaten. Een lijst van hen is hieronder gegeven.

Wat meer is universeel: de toename van het argument of de differentiële

Het is noodzakelijk om een aantal verduidelijkingen te maken. Representatie waarde f '(x) differentieel Ah mogelijk bij het overwegen van x als argument. Maar de functie kan een complex, waarin x een functie van het argument t kan zijn. Vervolgens de weergave van de differentiële expressie van f '(x) Ah, in de regel, is het onmogelijk; behalve in het geval van lineaire afhankelijkheid x = bij + b.

Aangezien de formule f '(x) dx = dy dan bij onafhankelijke argument x (toen dx = Ah) bij de parametrische afhankelijkheid van x t is differentieel.

Bijvoorbeeld, de expressie 2 x Ah is voor y = ^x2 voortvloeiende verschil wanneer x een argument. We hebben nu x = t ² en veronderstellen t argument. Vervolgens y = ^x2 = ^t4.

Dit wordt gevolgd door (t + At) ² = ^t2 + 2tΔt + ^At2. Vandaar Ah = 2tΔt + ^At2. Vandaar: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + ^At2).

Deze uitdrukking is niet evenredig met At, dus nu 2xΔh niet differentieel. Het kan worden gevonden uit de vergelijking y = x ² = ^t4. Het is gelijk dy = 4t ³ At.

Als we de expressie 2xdx is de differentiële y = ^x2 voor elk argument t. Inderdaad, wanneer x = ^t2 verkrijgen dx = 2tΔt.

Dus 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ At, t. E. De expressie verschillen opgetekend door twee verschillende variabelen samenvallen.

Vervanging stappen verschillen

Als f '(x) ≠ 0, dan Au dy equivalent (bij Ah → 0); als f '(x) = 0 (betekenis dy = 0), zij zijn niet gelijkwaardig.

Bijvoorbeeld, als y = ^x2, dan Au = (x + Ah) ─ ² x ² = 2xΔh + ^AH2 dy = 2xΔh. Indien x = 3, dan hebben we Au = 6Δh + ^AH2 dy = 6Δh gelijkwaardige gevolg ^AH2 → 0 zijn, wanneer x = 0 Au value = ^AH2 dy = 0 niet gelijkwaardig.

Dit feit, tezamen met de eenvoudige constructie van het differentieel (m. E. lineariteit ten opzichte Ah), wordt vaak gebruikt in benaderende berekening van de veronderstelling dat Au ≈ dy kleine Ah. Vind het differentieel functie is meestal gemakkelijker dan om de exacte waarde van de toename te berekenen.

Zo hebben wij metallic kubus rand x = 10,00 cm. Bij verhitting van de rand verlengd Ah = 0,001 cm. Hoe groter volume cube V? We hebben V = x ^2, zodat dV = 3x ² = Ah 3 ∙ ∙ februari ¹⁰ 0/01 = 3 (cm ^3). Verhoogde AV gelijk differentiële dV, zodat AV = 3 ^cm3. Volledige berekening zou geven ³ AV = 10,01 ─ ¹⁰ maart = 3,003001. Maar het resultaat van alle cijfers behalve de eerste onbetrouwbaar; Daarom is het nog steeds noodzakelijk om ronde tot 3 ^cm3.

Uiteraard is deze aanpak is alleen nuttig als het mogelijk is om de waarde bijgebracht met fout te schatten.

Verschilfunctie: voorbeelden

Laten we proberen om het differentieel van de functie y = x ^{3 vinden,} vinden de afgeleide. Laten we het argument increment Au en te definiëren.

Au = (Ah + x) ─ ³ x ³ = 3x ² + Ah (Ah 3xΔh ² + ^3).

Hier, heeft de coëfficiënt A = 3x ² niet afhankelijk Ah, zodat de eerste term evenredig Ah, het andere orgaan 3xΔh Ah ² + ³ wanneer Ah → 0 daalt sneller dan de toename van het argument. Bijgevolg lid van 3x ² Ah is het differentieel van y = x ^3:

DY = 3x ² Ah = 3x ² dx of d (x ³⁾ = 3x ² dx.

Waarbij d (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy vinden we nu de functie y = 1 / x van het derivaat. Vervolgens d (1 / x) / dx = ─1 / ^x2. Daarom dy = ─ Ah / ^x2.

Differentialen elementaire algebraïsche functies worden hieronder gegeven.

Benaderende berekeningen met differentiële

De functie f (x) te evalueren, en zijn afgeleide f (x) in x = a is vaak moeilijk, maar hetzelfde in de nabijheid van x = a doen is niet eenvoudig. Kom dan naar behulp van de benaderde uitdrukking

f (a + Ah) ≈ f '(a) Ah + f (a).

Dit geeft een geschatte waarde van de functie in kleine stappen door de differentiële Ah f '(a) Ah.

Daarom is deze formule geeft een benaderde uitdrukking voor de functie aan het eindpunt van een gedeelte van een lengte Ah als een som van de waarde op het beginpunt van het gedeelte (x = a) en het verschil in hetzelfde startpunt. Nauwkeurigheid van de werkwijze voor het bepalen van de waarden van de functie verderop licht de tekening.

Echter bekend en de exacte uitdrukking voor de waarde van de functie x = a + Ah gegeven door formule eindige stappen (of, als alternatief, Lagrange formule)

f (a + Ah) ≈ f (ξ) Ah + f (a),

waarbij het punt x = a + ξ is in het interval van x = a tot x = a + Ah, hoewel de exacte positie onbekend. De exacte formule maakt het mogelijk om de fout van de benaderingsformule evalueren. Als we in de Lagrange formule ξ = Ah / 2, alhoewel het niet langer juist, maar geeft in de regel, een veel betere aanpak dan de oorspronkelijke expressie in termen van het differentieel.

Evaluation formules fout door toepassing differentiële

Meetinstrumenten in principe onnauwkeurig, en breng aan de meetgegevens die overeenkomt met de fout. Ze worden gekenmerkt door het beperken van de absolute fout, of, in het kort, de limiet fout - positief, duidelijk meer dan de fout in absolute waarde (of ten hoogste gelijk aan het). Het beperken van de relatieve fout wordt verkregen door deze te delen door de absolute waarde van de meetwaarde quotiënt.

Laat exacte formule y = f (x) functie gebruikt om vychislyaeniya y, maar de waarde van x het meetresultaat, en daarom brengt y fout. Vervolgens werd de beperkende absolute fout │Δu│funktsii y vinden met de formule

│Δu│≈│dy│ │ = f '(x) ││Δh│,

waarbij │Δh│yavlyaetsya marginale fout argument. │Δu│ hoeveelheid moet naar boven worden afgerond, zoals onjuiste berekening zelf is de vervanging van de increment op de differentiële berekening.