Differentiaalrekening van functies van één en meerdere variabelen

Differentiaalrekening is een tak van wiskundige analyse, waarbij het derivaat, afgeleiden en hun toepassing bij het bestuderen van functies onderzocht.

Het verhaal van

Differentiaalrekening ontpopt als een onafhankelijke discipline in de tweede helft van de 17e eeuw, dankzij het werk van Newton en Leibniz, die de basisvoorzieningen in de berekening van verschillen geformuleerd en merkten het verband tussen integratie en differentiatie. Sinds discipline ontwikkelde hij samen met de berekening van integralen, waardoor de basis van de wiskundige analyse vormen. Het uiterlijk van deze nierstenen opende een nieuwe moderne tijd in de wiskundige wereld en de oorzaak van de opkomst van nieuwe disciplines in de wetenschap. Ook uitgebreid de mogelijkheid van het toepassen van de wiskunde in de natuurwetenschappen en techniek.

basisbegrippen

Differentiaalrekening is gebaseerd op de fundamentele concepten van de wiskunde. Ze zijn: een reëel getal, de continuïteit en de limiet van de functie. Na verloop van tijd hebben ze een moderne uitstraling genomen, dankzij de integrale en differentiële calculus.

Het aanmaken

Vorming van het differentieel calculus in de vorm van een toepassing en de wetenschappelijke methode zich vóór het ontstaan van filosofische theorie, opgericht door Nikolay Kuzansky. Zijn werk wordt beschouwd als een evolutionaire ontwikkeling van de oude wetenschap van oordeel. Ondanks het feit dat de filosoof zelf was niet een wiskundige, zijn bijdrage aan de ontwikkeling van wiskundige wetenschap valt niet te ontkennen. Cusa, een van de eerste uit de beschouwing van de rekenkunde als de meest accurate wetenschap, wiskunde de invoering van de tijd in twijfel getrokken.

In het oude wiskundigen was universeel criterium een eenheid, terwijl het als een nieuwe maatregel infinity voorgesteld filosoof terug te keren het exacte aantal. In verband met deze omgekeerde representatie van nauwkeurigheid in de wiskundige wetenschap. Wetenschappelijke kennis, in zijn ogen, is verdeeld in rationeel en intelligent. De tweede is nauwkeuriger, volgens de wetenschapper, omdat de voormalige geeft slechts bij benadering resultaten.

idee

Het basisidee en het concept van differentiaalrekening in verband met de functie in een kleine wijk van bepaalde punten. Hiervoor is het noodzakelijk een mathematische inrichting studies waarvan het gedrag in een kleine omgeving van punten dicht geïnstalleerd om het gedrag van een lineaire functie of een polynoom functie te creëren. Op basis van deze definitie van afgeleide en differentieel.

De opkomst van het concept van het derivaat werd veroorzaakt door een groot aantal problemen natuurlijke en wiskunde, wat leidde tot het bepalen van de grenswaarden van hetzelfde type.

Een van de belangrijkste taken die worden gegeven als voorbeeld, uitgaande van de oudste klassen, is de bewegingssnelheid van een punt bepalen in een rechte lijn en de aanleg van de raaklijn aan deze curve. De differentiële verband met deze, aangezien het mogelijk is om de functie g in een kleine omgeving van het punt van een lineaire functie.

In vergelijking met het concept van afgeleide van een functie van een reële variabele, de definitie van differentialen geeft alleen de functie van algemene aard, met name de afbeelding van een Euclidische ruimte naar de andere.

afgeleide

Laat de punt beweegt in de richting van de y-as de tijd nemen we x, gemeten vanaf het begin van een moment. Beschrijven dergelijke beweging mogelijk door de functie y = f (x), die wordt geassocieerd met elk tijdstip x-coördinaat verplaatsbaar punt. Deze functie oproep in de mechanica aan de wet van de beweging te nemen. Het belangrijkste kenmerk van de beweging, in het bijzonder ongelijk, is de momentane snelheid. Wanneer de plaats wordt bewogen langs de y-as volgens de wet van de mechanica, de willekeurig tijdstip verwerft coördinaten x f (x). In het tijdstip x + Ah, waarbij Ah vertegenwoordigt de tijdseenheid, wordt f (x + Ah) kordinaty. Aldus gevormde formule Ay = f (x + Ah) - f (x), waarbij een increment functie aangeroepen. Het is een punt van de afgelegde weg gedurende de tijd van x naar x + Ah.

In verband met het optreden van de snelheid tijdsafgeleide wordt toegediend. De afgeleide van een functie op een vast punt genoemd grens (aangenomen dat bestaat). Het kan worden verwezen naar bepaalde tekens:

f '(x), y', y, df / dx, dy / dx, Df (x).

Het proces van berekenen van de afgeleide van oproeponderscheid.

Differentiaalrekening van functies van meerdere variabelen

Deze methode wordt toegepast voor de berekening functie onderzoek meerdere variabelen. Wanneer er twee variabelen x en y, de partiële afgeleide naar x in het punt A wordt de afgeleide van deze functie in x met een vast y.

Kan worden aangegeven door de volgende symbolen:

f '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x en ∂f (x, y) / ∂x.

Vereiste vaardigheden

Om met succes te leren en in staat zijn om diffury vereiste vaardigheden op te lossen in de integratie en differentiatie. Om het gemakkelijker maken om de differentiaalvergelijkingen te begrijpen, moet onderwerp derivaat en worden begrepen onbepaalde integraal. Ook kan geen kwaad om te leren om te zoeken naar de afgeleide van de impliciete functie. Dit is te wijten aan het feit dat in het proces van het leren gebruiken vaak integralen en differentiatie.

Soorten differentiaalvergelijkingen

Vrijwel alle controle werkzaamheden in verband met de eerste-orde differentiaalvergelijkingen, zijn 3 soorten vergelijkingen: homogene, met afscheidbare variabelen, lineaire inhomogene.

Er zijn ook zeldzame soorten vergelijkingen met totale differentialen, Bernoulli's vergelijking, en anderen.

fundamentals oplossingen

Om te beginnen, moeten we niet vergeten is algebraïsche vergelijking van een school natuurlijk. Ze bevatten de variabelen en getallen. Met het oog op de conventionele vergelijking dient voldoende nummers die een bepaalde voorwaarde voldoen te vinden op te lossen. Typisch deze vergelijkingen één wortel en ter verificatie dient alleen plaats deze waarde plaats onbekend.

De differentiaalvergelijking is ongeveer zo. In het algemeen is een vergelijking van de eerste orde omvat:

• Onafhankelijke variabele.
• Een afgeleide van de eerste functie.
• Functie of afhankelijke variabele.

In sommige gevallen kan er geen onbekende, x of y, maar het is niet zo belangrijk als het noodzakelijk is de eerste afgeleide hebben, zonder hogere orde afgeleiden aan de oplossing en het differentieel calculus was waar.

Los de differentiaalvergelijking - betekent de verzameling van alle functies die toereikend zijn voor expressie zijn. Dergelijke stellen functies vaak de algemene oplossingregelaar.

integraalberekening

Integraalberekening is een van de secties van wiskundige analyse, waarin het begrip integrale, eigenschappen en methoden voor de berekening onderzoekt.

Vaak is de berekening van de integraal optreedt bij de berekening van de oppervlakte van een kromlijnige vorm. Op deze wijze een grensgebied, waarnaar een vooraf bepaald gebied van de ingeschreven veelhoek vorm met een geleidelijke toename in de hand en de gegevenszijde minder dan een vooraf gespecificeerde willekeurige kleine waarde kan worden gemaakt.

De hoofdgedachte van de berekening van de oppervlakte van elke geometrische vorm berekent de oppervlakte van een rechthoek, is er bewijs dat het gebied is gelijk aan het product van de lengte met de breedte. Wat betreft geometrie, worden alle constructies worden gemaakt met behulp van een liniaal en kompas, en de verhouding van lengte tot breedte rationeel waarde. Bij de berekening van de oppervlakte van een rechthoekige driehoek kan worden bepaald dat als je een volgende driehoek te zetten, is een rechthoek gevormd. In het gebied van het parallellogram berekend op soortgelijke maar iets ingewikkelder werkwijze, binnen een rechthoek en een driehoek. Op het gebied van een polygoon wordt door driehoeken opgenomen.

Het bepalen overgeleverd aan willekeur, is deze methode niet de ronding. Als we breken in individuele vierkanten, zal het openstaande plaatsen blijven. In dit geval probeert twee lagen te gebruiken, rechthoeken boven en onder als gevolg van de onder de grafiek van de functie en omvat niet. Belangrijk hierbij is een manier om deze rechthoeken te breken. Ook als we de pauze meer en meer verkleind nemen, het gebied van de boven- en onderkant moeten convergeren op een bepaalde waarde.

Het moet terugkeren naar een werkwijze voor het scheiden in rechthoeken. Er zijn twee populaire methoden.

Riemann geformaliseerd definitie van de integraal, door Leibniz en Newton, als het gebied van subgraaf. In dit geval, hebben wij een figuur bestaande uit een aantal verticale rechthoeken verkregen door het interval te delen. Bij het breken van een afname er een grens waar het gereduceerde oppervlak van dergelijke figuur is deze limiet het Riemannintegraal van een functie op een bepaald interval genoemd.

Een tweede werkwijze betreft het construeren van de Lebesgue integraal, hierin bestaande dat op de plaats van afscheiding aangewezen gebied op een deel van de integrant en samenstellen vervolgens de integraal som van de waarden die in deze delen, op intervallen verdeeld zijn waardebereik en daarna gesommeerd met de overeenkomstige maatregelen invers deze integralen.

moderne hulpmiddelen

Een van de belangrijkste voordelen voor de studie van differentiële en integraal calculus Fikhtengol'ts schreef - "van het differentieel en integraalrekening." Zijn boek is een fundamenteel instrument voor de studie van wiskundige analyse, die vele uitgaven en vertalingen weerstond in andere talen. Gemaakt voor studenten en voor een lange tijd gebruikt in een verscheidenheid van onderwijsinstellingen als een van de belangrijkste voordelen van de studie. Het geeft theoretische informatie en praktische vaardigheden. Voor het eerst gepubliceerd in 1948.

Algoritme onderzoeksfunctie

Om de methoden van differentiaalrekening functie te verkennen, moet je volgen, is reeds gegeven algoritme:

1. Vind het domein van de functie.
2. Vind de wortels van de gegeven vergelijking.
3. Bereken de uitersten. Hiertoe berekenen we de afgeleide en het punt waar het gelijk is aan nul.
4. We vervangen de verkregen in vergelijking waarde.

Soorten differentiaalvergelijkingen

Besturing van de eerste orde (anders differentiaalrekening van een variabele) en hun types:

• Met afscheidbare variabelen vergelijking: f (y) dy = g (x) dx.
• De meest eenvoudige vergelijking of differentiaal- functie van een variabele met de formule: y '= f (x).
• De lineaire eerste orde ongelijkmatige control: y '+ P (x) y = Q (x).
• Bernoulli differentiaalvergelijking: y '+ P (x) y = Q (x) y a.
• Vergelijking totaal verschillen met: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

De differentiaalvergelijkingen van tweede orde en hun types:

• Homogene lineaire tweede orde differentiaalvergelijking met constante ^{coëfficiënten y n + py '+ qy} = 0 p, q behoort R.
• Inhomogene lineaire tweede orde differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten ^{waarde y n + py '+ qy} = f (x).
• Homogene lineaire ^{differentiaalvergelijking: y n + p (x)} y '+ q (x) y = 0, en inhomogene tweede orde ^{vergelijking: n + p (x)} y' + q (x) y = f (x).

Differentiaalvergelijkingen van hogere orde en hun types:

• De differentiaalvergelijking, reduceerrt de ^{volgorde: F (x, y (k} ), y (k + ^{1), .., y (n)} = 0.
• Een lineaire vergelijking van hogere orde ^{_{homogeen: y (n) + f (}} n- ₁₎ y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = 0, en ^{_{inhomogene: y (n) + f (}} n _-1) y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = f (x).

Stadia van het oplossen van het probleem met de differentiaalvergelijking

Met behulp van de afstandsbediening worden opgelost, niet alleen wiskunde of lichamelijke problemen, maar ook de verschillende problemen van de biologie, economie, sociologie en anderen. Ondanks de grote verscheidenheid van onderwerpen, zou een enkele logische volgorde aan te houden voor het oplossen van deze problemen:

1. Opstellen controle. Eén van de moeilijkste fasen, die een maximale nauwkeurigheid vereist, omdat iedere fout zal leiden tot een volledig verkeerde resultaten. Het is noodzakelijk om rekening te houden met alle factoren die van invloed van het proces en het bepalen van de initiële condities. Ook moet worden op basis van feiten en logische conclusies.
2. Voor het oplossen van vergelijkingen. Dit proces is gemakkelijker om het eerste punt, aangezien het slechts een strikte toepassing van wiskundige berekeningen vereist.
3. Analyse en evaluatie van de resultaten. Verkregen oplossing moet worden beoordeeld voor de installatie van praktische en theoretische waarde van het resultaat.

Een voorbeeld van het gebruik van differentiaalvergelijkingen in de geneeskunde

De afstandsbediening gebruiken op het gebied van de geneeskunde is gevonden in de constructie van epidemiologisch mathematisch model. We moeten niet vergeten dat deze vergelijkingen ook worden gevonden in de biologie en scheikunde, die dicht bij de geneeskunde, omdat het een belangrijke rol speelt de studie van de verschillende biologische populaties en chemische processen in het menselijk lichaam.

In dit voorbeeld kan de epidemische verspreiding van infectie bij een geïsoleerde gemeenschap behandeld. De bewoners zijn verdeeld in drie soorten:

• Besmet, het aantal x (t), dat bestond uit individuen, besmettelijke dragers, waarvan elk infectueus (incubatietijd is kort).
• Het tweede type omvat gevoelige individuen y (t) kan worden geïnfecteerd door contact met besmette.
• Het derde type omvat vuurvaste individuen z (t), die het immuunsysteem of verloren als gevolg van ziekte zijn.

Aantal individuen voortdurend, het houden van geboorte, natuurlijke sterfte en migratie wordt niet beschouwd. De kern zullen twee hypothesen.

Het percentage incidentie bij een bepaald tijdstip gelijk is aan x (t) y (t) (op basis van de aanname van de theorie dat het aantal gevallen in verhouding tot het aantal kruisingen tussen patiënten en gevoelige leden, die in eerste benadering evenredig met x (t) y (t)), in dus het aantal gevallen toeneemt en het aantal vatbare af met een snelheid die wordt berekend met de formule ax (t) y (t) (a> 0).

Aantal niet-responders gestorven dieren of verworven immuniteit, verhoogd met een snelheid die evenredig is met het aantal gevallen bx (t) (b> 0).

Als gevolg hiervan kunt u het opzetten van een stelsel van vergelijkingen met alle drie indicatoren op basis van haar conclusies.

Voorbeeld gebruik economie

Differentiaalrekening wordt vaak gebruikt in economische analyse. De belangrijkste taak van de economische analyse wordt beschouwd als de studie van de waarden van de economie, die zijn opgenomen in de vorm van de functie zijn. Het wordt gebruikt bij het oplossen van problemen, zoals veranderingen in de inkomstenbelasting stijgt onmiddellijk na, toegangsprijzen, veranderingen in de inkomsten bij het veranderen van de waarde van het product, in welke mate kan worden vervangen door gepensioneerde medewerkers met nieuwe apparatuur. Om dergelijke problemen op te lossen, is het vereist om een communicatiefunctie van de binnenkomende variabelen die, na bestudering van differentiaalrekening construeren.

is het vaak nodig om de meest optimale prestaties in de economische sfeer te vinden: een maximale productiviteit, het hoogste inkomen, de laagste kosten en ga zo maar door. Elke dergelijke component is een functie van één of meer argumenten. Bijvoorbeeld, kan de productie worden beschouwd als een functie van arbeid en kapitaal. Daarbij vinden van een geschikte waarde kan worden gereduceerd tot het vinden van de maximum of minimum van een functie van een of meer variabelen.

Dergelijke problemen creëren een klasse van extrema problemen op economisch gebied, waarvoor u differentiaalrekening nodig. Wanneer de economische indicator is vereist te minimaliseren of maximaliseren als een functie van andere parameters, zal de toename verhouding maximumpunt functie om de argumenten meestal nul als de toename van het argument nul benadert. Anders, als een dergelijke houding meestal een bepaalde positieve of negatieve waarde, opgegeven punt is niet geschikt, omdat het argument verhogen of te verlagen afhankelijke waarde kan worden gewijzigd in de gewenste richting. In differentiaalrekening termen, zou dit betekenen dat de vereiste omstandigheden voor maximale functie een nulwaarde van zijn derivaten.

De economie is niet ongewoon probleem van het vinden het extreem van een functie van een aantal variabelen, omdat de economische indicatoren zijn samengesteld uit vele factoren. Dergelijke kwesties zijn welbekend in de theorie van functies van meerdere variabelen, de berekeningswijze van het differentieel. Dergelijke problemen omvatten niet alleen gemaximaliseerd en geminimaliseerd functie, maar ook beperkingen. Deze vragen hebben betrekking op mathematische programmering, en ze zijn opgelost met behulp van speciaal ontwikkelde methoden zijn ook gebaseerd op deze tak van de wetenschap.

Bij de methode van differentiële calculus gebruikt in de economie, een belangrijk deel is de ultieme test. Op economisch vlak, de term verwijst naar een set van methoden van onderzoek van de variabele prestaties en resultaten wanneer u het volume van de schepping, het verbruik te veranderen, gebaseerd op een analyse van de grenswaarden. Beperkend indicatief derivaat of de partiële afgeleiden met meerdere variabelen.

Differential calculus van meerdere variabelen - een belangrijk onderwerp van de wiskundige analyse. Voor een gedetailleerde studie, kunt u een verscheidenheid aan leermiddelen te gebruiken voor instellingen voor hoger onderwijs. Een van de meest bekende gecreëerd Fikhtengol'ts - "van het differentieel en integraalrekening." Hoeveel van de naam voor de oplossing van differentiaalvergelijkingen van groot belang om de vaardigheden om te werken met integralen hebben. Wanneer er een differentiaalrekening van de functies van een variabele, wordt de beslissing makkelijker. Hoewel, het moet worden opgemerkt, volgt dezelfde basisregels. In de praktijk is de functie van de differentiaalrekening onderzoeken, volg gewoon de reeds bestaande algoritme, dat wordt gegeven op de middelbare school, en slechts een beetje ingewikkeld met de introductie van nieuwe variabelen.