Lineaire en homogene differentiaalvergelijking van de eerste orde. Voorbeelden van oplossingen

Ik denk dat we moeten beginnen met de geschiedenis van de glorieuze wiskundig gereedschap differentiaalvergelijkingen. Net als alle het differentieel en integraalrekening, werden deze vergelijkingen uitgevonden door Newton in de late 17e eeuw. Hij geloofde dat het zijn ontdekking zo belangrijk dat zelfs de versleutelde boodschap, die vandaag de dag kan worden vertaald als volgt: "Al de wetten van de beschreven door differentiaalvergelijkingen natuur" Het kan overdreven lijken, maar het is waar. Elke wet van fysica, chemie, biologie, kan worden beschreven door de volgende vergelijkingen.

Een enorme bijdrage aan de ontwikkeling en het creëren van de theorie van differentiaalvergelijkingen hebben wiskunde van Euler en Lagrange. Al in de 18e eeuw ontdekten ze en ontwikkeld wat nu studeren aan de senior universitaire opleidingen.

Een nieuwe mijlpaal in de studie van differentiaalvergelijkingen begon dankzij Anri Puankare. Hij ook een "kwalitatieve theorie van differentiaalvergelijkingen", die in combinatie met de theorie van functies van complexe variabelen aanzienlijk bijgedragen tot de vorming van topologie - de wetenschap van ruimte en zijn eigenschappen.

Wat zijn differentiaalvergelijkingen?

Veel mensen zijn bang voor de zinsnede "differentiaalvergelijking". Echter, in dit artikel zullen we in detail de essentie van deze zeer nuttig wiskundig gereedschap dat is eigenlijk niet zo ingewikkeld als het lijkt uit de titel. Om te beginnen om te praten over een eerste-orde differentiaalvergelijking, moet u eerst kennis te maken met de basisbegrippen die inherent zijn gekoppeld aan deze definitie. En we beginnen met het differentieel.

differentiaal

Veel mensen kennen deze term sinds de middelbare school. Echter, nog steeds wonen op het in detail. Stel je de grafiek van de functie. We kunnen verhogen zodanig dat een van de segmenten wordt een rechte lijn. Het zal twee punten die oneindig dicht bij elkaar. Het verschil tussen de coördinaten (x en y) is oneindig. En het heet differentieel en aanduiden DY (verschil van y) en dx (het verschil van x). Het is belangrijk te begrijpen dat het verschil niet de eindwaarde, en dit is de betekenis en de hoofdfunctie.

En nu moet je de volgende elementen, die we nodig hebben om de differentiaalvergelijking concept uit te leggen overwegen. It - derivaat.

afgeleide

Ieder van ons moet hebben gehoord op school en dit begrip. Ze zeggen dat de afgeleide - is de snelheid van de groei of afname van de functie. Echter, deze definitie wordt meer verwarrend. Laten we proberen om de afgeleide voorwaarden van de verschillen uit te leggen. Laten we teruggaan naar het oneindig kleine intervalfunctie gaan met twee punten die zich op een minimale afstand van elkaar. Maar ook buiten deze afstand functie is het tijd om te schakelen naar een bepaalde waarde. En die verandering te beschrijven en komen met een derivaat die anders zouden worden geschreven als de verhouding van de verschillen: f (x) '= df / dx.

Nu is het nodig om de fundamentele eigenschappen van het derivaat te overwegen. Er zijn slechts drie:

1. Afgeleide som of het verschil kan worden weergegeven als de som of het verschil van de afgeleiden: (a + b) = a '+ b ' en (ab)'= a'-b'.
2. De tweede eigenschap is verbonden met vermenigvuldigen. Afgeleide werken - de som van de werkzaamheden van de ene naar de andere functie-derivaat: (a * b) '= a' + b * a * b'.
3. De afgeleide van het verschil kan worden geschreven als de volgende vergelijking: (a / b) = (a '* ba * b) / b ^2.

Al deze eigenschappen handig zijn voor de oplossing van differentiaalvergelijkingen van de eerste orde.

Ook zijn er partiële afgeleiden. Stel dat we een functie van de z, die afhangt van de variabelen x en y. De partiële afgeleide van deze functie te berekenen, bijvoorbeeld x, moeten we de variabele y neemt voor een constante en eenvoudig te differentiëren.

integraal

Een ander belangrijk concept - integraal. In feite is het tegenovergestelde van derivaat. Integralen zijn verschillende types, maar de eenvoudigste oplossingen van differentiaalvergelijkingen, moeten we de meest triviale onbepaalde integralen.

Dus, wat is de integrale? Laten we zeggen dat we een relatie f van x. Wij nemen van deze integrale en het verkrijgen van een functie F (x) (wordt vaak aangeduid als een primitieve), die een derivaat van de oorspronkelijke functie. Daarom F (x) = f (x). Dit houdt in dat de integraal van de afgeleide gelijk is aan de oorspronkelijke functie.

Bij het oplossen van differentiaalvergelijkingen is het zeer belangrijk om de betekenis en functie van de integraal te begrijpen, want heel vaak om hen naar oplossingen te vinden.

De vergelijkingen zijn verschillend afhankelijk van hun aard. In de volgende paragraaf zullen we kijken naar vormen van eerste orde differentiaalvergelijkingen, en dan leren hoe ze op te lossen.

Klassen van differentiaalvergelijkingen

"Diffury" gedeeld door de volgorde van afgeleiden betrokken. Er is dus een eerste, tweede, derde of meer orde. Ze kunnen ook worden onderverdeeld in verschillende klassen: gewone en partiële.

In dit artikel zullen we rekening houden met de gewone differentiaalvergelijkingen van de eerste orde. Voorbeelden en oplossingen die we bespreken in de volgende paragrafen. We beschouwen alleen de TAC, want het is de meest voorkomende vormen van vergelijkingen. Gewone verdeeld ondersoorten: met afscheidbare variabelen homogene en heterogene. Vervolgens leer je hoe ze van elkaar verschillen, en leren hoe ze op te lossen.

Bovendien kunnen deze vergelijkingen worden gecombineerd, zodat na een stelsel differentiaalvergelijkingen van de eerste orde te krijgen. Dergelijke systemen, kijken we ook naar en te leren hoe op te lossen.

Waarom we overwegen alleen de eerste orde? Omdat het noodzakelijk is om te beginnen met een eenvoudige en beschrijven allemaal gekoppeld aan differentiaalvergelijkingen, in een enkel artikel is onmogelijk.

Vergelijkingen met scheidbaar variabelen

Dit is misschien de eenvoudigste eerste orde differentiaalvergelijkingen. Dit zijn voorbeelden die kunnen worden geschreven als: y '= f (x) * f (y). Om deze vergelijking op te lossen hebben we de formule representatie van het derivaat als de verhouding van de verschillen: y '= dy / dx. Daarmee krijgen we de vergelijking: dy / dx = f (x) * f (y). Nu kunnen we ons wenden tot de methode voor het oplossen standaard voorbeelden: scheiden van de variabelen in delen, dat wil zeggen snel vooruit alle variabele y in het deel waar sprake is van dy, en ook de variabele x ... Verkrijgen wij een vergelijking van de vorm: dy / f (y) = f (x) dx, die wordt bereikt door de integralen van de beide delen. Vergeet niet over de constante die u wilt na de integratie te zetten.

De oplossing van elke "diffura" - is een functie van x door y (in ons geval), of wanneer er een numerieke aandoening, het antwoord een getal. Laten we eens kijken naar een concreet voorbeeld het gehele verloop van de beslissing:

y '= 2y * sin (x)

Breng de variabelen in verschillende richtingen:

dy / y = 2 * sin (x) dx

Neem nu de integralen. Ieder van hen zijn te vinden in een speciale tafel van integralen. En we krijgen:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

Indien gewenst kunnen we de "y" als een functie van de "X" uit te drukken. Nu kunnen we zeggen dat onze differentiaalvergelijking wordt opgelost, indien niet opgegeven voorwaarde. Opgeven voorwaarde, bijvoorbeeld y (n / 2) = e. Dan zullen we gewoon de plaats van de waarde van deze variabelen in het besluit en vind de waarde van de constante. In ons voorbeeld is het 1.

Homogene eerste orde differentiaalvergelijkingen

Nu op naar de meer complexe onderdelen. Eerst homogene orde differentiaalvergelijkingen kunnen worden geschreven in algemene vorm als: y '= z (x, y). Opgemerkt wordt dat de juiste functie van twee variabelen uniform, en kan niet worden verdeeld in twee gelang: z x y en z uit. Controleer of de vergelijking homogeen of niet, is eenvoudig: we de substitutie x = k * x en y = k * y. Nu snijden we allemaal k. Deze brieven zijn gedaald, wordt de vergelijking homogene en kan veilig gaan tot de oplossing. Wat de toekomst betreft, zeggen wij: het principe van de oplossing van deze voorbeelden is ook zeer eenvoudig.

We moeten de wissel moeten doorvoeren: y = t (x) * x, waarbij t - een functie die ook afhankelijk is van x. y '= t' (x) * x + t: Vervolgens kunnen we de afgeleide expressie. Substitutie allemaal in onze oorspronkelijke vergelijking en vereenvoudigen, hebben wij het voorbeeld van de scheiding van variabelen zoals t x. Oplossen en het verkrijgen van de afhankelijkheid van t (x). Toen we het, gewoon vervangen door onze vorige substitutie y = t (x) * x. Bereken we de afhankelijkheid van y over x.

Om het duidelijker te maken, zullen wij een voorbeeld te begrijpen: x * y '= yx * e y / x.

Bij het controleren van de vervanging van alle dalen. Dus, de vergelijking is echt homogeen. Nu maak een andere substitutie, hebben we gesproken over: y = t (x) * x en y '= t' (x) * x + t (x). Na vereenvoudiging de volgende vergelijking: t '(x) * x = -e t. We besluiten om een monster met gescheiden variabelen te krijgen en we ^{krijgen: e -t = ln (C *} x). We moeten alleen t vervangen door y / x (want als y = t * x, dan is = T y / x), en krijgen we het ^{antwoord: e -y / x = ln (} x * C).

Lineaire differentiaalvergelijking van de eerste orde

Het is tijd om een ander breed onderwerp te overwegen. We zullen kijken heterogene eerste-orde differentiaalvergelijkingen. Hoe doen ze afwijken van de vorige twee? Laten we eerlijk zijn. Eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen in de algemene vorm van de vergelijking kan dus geschreven worden: y '+ g (x) * y = z (x). Moet worden verduidelijkt dat z (x) en g (x) kan constante waarden.

Hier is een voorbeeld: y '- y * x = x ^2.

Er zijn twee manieren om op te lossen, en we bestellen Laat ons beiden te onderzoeken. De eerste - de wijze van variatie van willekeurige constanten.

Om de vergelijking op deze manier op te lossen, is het noodzakelijk om de eerste rechterkant gelijk aan nul, en oplossen van de resulterende vergelijking die na de overdracht van onderdelen wordt:

y '= y * x;

dy / dx = y * x;

dy / y = xdx;

ln | y | x = ^2/2 + C;

y = ^x2 e ^{/ 2} * ^C y = _C1 * E ^{x2 / 2.}

Nu is het nodig dat de constante _C1 vervangt de functie v (x), die we vinden.

y = v * E ^{x2 / 2.}

Teken een vervanger afgeleide:

^{y '= v' * E x2} / ² -x * v * E ^{x2 / 2.}

En de vervanging van deze uitdrukkingen in de oorspronkelijke vergelijking:

v '* E ^{x2 / 2} - x * v * E ^{x2 / 2} + x * v * E ^{x2 / 2} = x ^2.

Je kunt zien dat in de linkerkant van de twee termen worden verminderd. Als sommige voorbeeld dat niet gebeuren, dan heb je iets verkeerd gedaan. We blijven:

v '* E ^{x2 / 2} = x ^2.

Nu lossen we de gebruikelijke vergelijking waarin u wilt de variabelen te scheiden:

dv / dx = ^{x2 /} e ^x2 / ^2;

dv = x ² * e ^{- x2 / 2} dx.

Om de integraal te verwijderen, moeten we de integratie toe te passen door delen hier. Dit is echter niet het onderwerp van dit artikel. Als u geïnteresseerd bent, kunt u leren op hun eigen deze acties uit te voeren. Het is niet moeilijk, en met voldoende vaardigheid en zorg is niet tijdrovend.

Verwijzend naar de tweede werkwijze de oplossing van de inhomogene vergelijkingen: Bernoulli methode. Welke aanpak is sneller en gemakkelijker - het is aan jou.

Dus, bij het oplossen van deze methode, moeten we de wissel moeten doorvoeren: y = k * n. Hier, k en n - enkele functies afhankelijk van x. Vervolgens zal het derivaat uitzien: y '= k' * n + k * n'. Vervangende twee substituties in de vergelijking:

k '* n + k * n ' + x * k * n = x ^2.

Groep up:

k '* n + k * ( n' + x * n) = x ^2.

Nu is het nodig om gelijk aan nul, dat wil zeggen tussen haakjes. Nu, als je de twee resulterende vergelijkingen combineren, krijgen we een systeem van eerste orde differentiaalvergelijkingen op te lossen:

n '+ x * n = 0;

k '* n = ^x2.

De eerste gelijkheid beslissen hoe de gebruikelijke vergelijking. Om dit te doen, moet je de variabelen te scheiden:

dn / dx = x * v;

dn / n = xdx.

We nemen de integrale en krijgen we: ln (n) = x ^2/2. Dan, als we uitdrukken n:

n = e ^{x2 / 2.}

Nu de plaats van de resulterende vergelijking in de tweede vergelijking:

k '* E ^{x2 / 2} = x ^2.

En het transformeren we dezelfde vergelijking te verkrijgen als bij de eerste methode:

dk = ^{x2 /} e ^x2 / ^2.

We zullen ook geen verdere actie te bespreken. Er wordt gezegd dat aanvankelijk eerste orde differentiaalvergelijkingen oplossing veroorzaakt aanzienlijke problemen. Echter, een diepere onderdompeling in het onderwerp begint te beter en beter.

Waar zijn differentiaalvergelijkingen?

Zeer actieve differentiaalvergelijkingen toegepast in de natuurkunde, omdat bijna alle basiswetten geschreven in differentiële vorm, en de formules, die wij zien - een oplossing voor deze vergelijkingen. In de chemie, worden ze gebruikt om dezelfde reden: de basiswetten afgeleid doorheen. In de biologie worden de differentiaalvergelijkingen gebruikt om het gedrag van systemen zoals predator model - prooi. Ze kunnen ook worden gebruikt om modellen van de voortplanting te maken, bijvoorbeeld, kolonies van micro-organismen.

Zoals differentiaalvergelijkingen helpen in het leven?

Het antwoord op deze vraag is eenvoudig: niets. Als je niet een wetenschapper of ingenieur, is het onwaarschijnlijk dat ze nuttig zullen zijn. Echter, geen kwaad om te weten wat de differentiaalvergelijking en het is opgelost voor de algemene ontwikkeling. En dan is de vraag van een zoon of dochter, "wat een differentiaalvergelijking?" hoef je niet te zetten in een doodlopende straat. Nou, als je een wetenschapper of ingenieur, dan weet je het belang van dit onderwerp in elke wetenschap. Maar het belangrijkste is, dat nu op de vraag "hoe de differentiaalvergelijking van de eerste orde op te lossen?" je zal altijd in staat zijn om een antwoord te geven. Mee eens, het is altijd leuk als je je realiseert dat wat mensen zijn zelfs bang om uit te vinden.

De belangrijkste problemen in de studie

Het grootste probleem in het begrijpen van dit onderwerp is een slechte gewoonte van integratie en differentiatie functies. Als je ongemakkelijk NEEMT afgeleiden en integralen, is het waarschijnlijk meer te leren waard, om verschillende methoden van integratie en differentiatie te leren, en pas daarna overgaan tot de studie van het materiaal dat in het artikel beschreven.

Sommige mensen zijn verbaasd te horen dat dx kan worden overgedragen, zoals eerder (op school) voerde aan dat de fractie dy / dx is ondeelbaar. Dan moet je de literatuur lezen op het derivaat en begrijpen dat het is de houding van oneindig kleine hoeveelheden, die kunnen worden gemanipuleerd in het oplossen van vergelijkingen.

Veel mensen niet onmiddellijk beseffen dat de oplossing van differentiaalvergelijkingen van de eerste orde - dit is vaak een functie of neberuschiysya integraal, en dit waanidee geeft hen een hoop problemen.

Wat anders kan worden bestudeerd om beter te begrijpen?

Het beste is om verdere onderdompeling te beginnen in de wereld van differentiaalrekening gespecialiseerde handboeken, bijvoorbeeld in wiskundige analyse voor studenten van niet-wiskundige specialiteiten. U kunt dan naar de meer gespecialiseerde literatuur.

Er wordt gezegd dat, in aanvulling op het differentieel, zijn er nog integraal vergelijkingen, zodat u altijd wel iets om te streven naar en wat te bestuderen.

conclusie

We hopen dat na het lezen van dit artikel vindt u een idee van wat de differentiaalvergelijkingen en hoe ze de juiste manier op te lossen hebben.

In ieder geval, wiskunde op enigerlei wijze nuttig voor ons in het leven. Het ontwikkelt logica en aandacht, zonder dat ieder mens, als zonder handen.