Vierhoek met rechte hoeken - is een som van de hoeken van een vierhoek ...

Een van de meest interessante onderwerpen in de geometrie van het schooljaar - is "een vierhoek" (Grade 8). Welke soorten cijfers bestaan, welke speciale kwaliteiten die ze bezitten? Wat is er uniek vierhoeken met een hoek van negentig graden? Laten we eens kijken naar dit alles.

Wat geometrische figuur genaamd een vierhoek

Veelhoeken die telkens uit vier zijden, van de vier hoekpunten (hoeken) worden ingeschakeld Euclidische meetkunde vierhoeken.

Geïnteresseerd in de geschiedenis van dit type naam figuren. In het Russisch het zelfstandig naamwoord "vierhoek" is afgeleid van de "vier hoeken" zinnen (op dezelfde wijze als de "driehoek" - de drie hoeken, "pentagon" - vijf hoeken, enz ...).

Echter, in het Latijn (die door bemiddeling van vele geometrische termen in de meeste talen van de wereld kwam) is het wel een vierhoek. Dit woord is een getal Quadri (vier) en een zelfstandig naamwoord latus (zijde). We kunnen dus concluderen dat de oude dit polygoon was alleen bekend als "vierhoek".

By the way, de naam (met de nadruk op de aanwezigheid van de figuren van dit soort vier zijden, niet de hoeken) vastgehouden in sommige moderne talen. Bijvoorbeeld, in het Engels - vierhoek en in het Frans - quadrilatère.

In de meeste Slavische talen is deze soort nog steeds die cijfers over het aantal corners, niet de zijkanten. Bijvoorbeeld, in de Slowaakse (štvoruholník), in de Bulgaarse ( 'chetiriglnik ") in Wit-Rusland (" chatyrohkutnіk ") in het Oekraïens (" chotirikutnik "), in het Tsjechisch (čtyřúhelník), maar in de Poolse vierhoek een beroep op het aantal partijen - czworoboczny.

Welke soorten quads wordt bestudeerd in het schoolprogramma

In moderne geometrie 4 soorten veelhoeken met vier zijden. Echter, vanwege de zeer complexe eigenschappen van een aantal van hen op de school geometrie klassen zijn alleen bekend met twee soorten.

• Parallellogram (parallellogram). De tegenoverliggende zijden van de vierhoek zijn evenwijdig aan elkaar en zijn respectievelijk paarsgewijze gelijk zijn.
• Trapezium (trapezium of trapezoïde). Deze vierhoek bestaat uit twee tegenoverliggende zijden evenwijdig aan elkaar. De andere paar zijden heeft geen dergelijke functie.

Niet onderzocht in de school loop van de geometrie soorten vierhoeken

In aanvulling op deze, zijn er twee soorten vierhoeken waarmee leerlingen vertrouwd zijn met de geometrie lessen, vanwege hun bijzondere complexiteit.

• Deltaspier (kite) - figuur, waarbij elk van de twee paren aangrenzende zijden lengte gelijk aan elkaar. De naam van deze vierhoek was te wijten aan het feit dat hij in het uiterlijk is vrij denken aan de letter van het Griekse alfabet - "delta".
• Parallellogram (antiparallelogram) - dit cijfer is zo complex is als zijn naam. Daarin beide tegenoverliggende zijden gelijk zijn, maar ze zijn niet parallel aan elkaar. Verder is de lange tegenover elkaar gelegen zijden van de vierhoek snijden andere twee kortere zijden voortzetten.

soorten parallellogram

Dat ging over de belangrijkste vormen van quads, moet je aandacht besteden aan de ondersoorten. Dus, al parallellogrammen, op hun beurt, zijn ook verdeeld in vier groepen.

• Classic parallellogram.
• Ruit (ruit) - vierhoekige vorm met gelijke zijden. Diagonalen elkaar onder een rechte hoek, het verdelen van de ruit in vier gelijke rechthoekige driehoeken.
• Rechthoek (rechthoek). Deze naam spreekt voor zich. Aangezien deze rechthoek met rechte hoeken (elk van hen gelijk aan negentig graden). weerszijden niet alleen evenwijdig aan elkaar, maar gelijk.
• Square (vierkant). Aangezien de rechthoek is een vierhoek met rechte hoeken, maar alle kanten gelijk. Dat dit cijfer ligt dicht bij een diamant. Zo kan worden gesteld dat het plein - is een kruising tussen een diamant en een rechthoek.

De bijzondere eigenschappen van de rechthoek

Gezien de figuren, waarin elk van de hoeken tussen de zijkanten gelijk is aan negentig graden, is een verdere focus op de rechthoek waard. Dus, welke functies het heeft kenmerken die het onderscheiden van andere parallellogrammen?

Om te beweren dat het voorwerp parallellogram - een rechthoek, moet de diagonalen aan elkaar gelijk en elk van de hoeken zijn - recht. Bovendien moet het kwadraat van de diagonalen aan de som van de kwadraten van de twee aangrenzende zijden van de figuur. Met andere woorden, het klassieke rechthoek uit twee rechthoekige driehoeken, zoals ze bekend zijn, de som van de kwadraten van de benen gelijk is aan het kwadraat van de hypotenusa. In de rol van de schuine zijde dient diagonaal weloverwogen vierhoek.

De laatste van deze symptomen van dit cijfer is ook een speciale eigenschap. Bovendien, zijn er anderen. Bijvoorbeeld, het feit dat alle partijen bestudeerd vierhoek met rechte hoeken - is zowel de hoogte.

Indien verder een rechthoek rond elk een cirkel te tekenen, de diameter gelijk aan de diagonaal van de ingeschreven vormen hebben.

Naast andere eigenschappen van de vierhoek, dat het vlak en niet- Euclidische meetkunde bestaat niet. Dit komt door het feit dat in een dergelijk systeem geen vierhoekige figuur is de som van de hoeken gelijk driehonderd zestig graden.

Het plein en de functies

Dat ging over de kenmerken en eigenschappen van de rechthoek, moet je aandacht besteden aan de tweede bekende science vierhoek met rechte hoeken (een vierkant).

Zoals eigenlijk hetzelfde rechthoek, maar met gelijke zijden, die vorm heeft al zijn eigenschappen. Maar in tegenstelling tot hem, het plein is aanwezig in de niet-Euclidische meetkunde.

Daarnaast is in deze figuur, zijn er andere individuele kenmerken. Bijvoorbeeld, het feit dat de diagonaal van een vierkant is niet alleen gelijk aan elkaar, maar snijden onder een rechte hoek. Dus als een ruit, een vierkant bestaande uit vier rechthoekige driehoeken, die schuin verdeeld.

Daarnaast is dit cijfer is de meest evenwichtige van alle vierhoeken.

Wat is de som van de hoeken van een vierhoek

Vanwege de eigenschappen van de binnenplaatsen van de Euclidische meetkunde, moet je aandacht besteden aan hun hoeken.

Dus in elk van de bovengenoemde figuren, ongeacht of er in haar loodrecht indien de totale hoeveelheid daarvan steeds gelijk - driehonderdzestig graden. Dit is een uniek kenmerk van dit soort figuren.

perimeter vierhoeken

Na behandeld dat, wat is dan de som van de hoeken van een vierhoek en andere bijzondere eigenschappen van de vorm van deze soort, is het noodzakelijk om te weten wat het beste is om formules te gebruiken om hun omtrek en oppervlakte te berekenen.

Om de omtrek van elke vierzijdige bepalen, hoeft slechts op tot elkaar de lengte van de zijden.

Bijvoorbeeld, in figuur KLMN zijn omtrek kan worden berekend met de formule: P = KL + LM + Mn + KN. Als we hier vervangen verkregen getallen: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

In het geval waarin de beoordelingsperiode figuur - een vierkant of een ruit, voor het vinden van de omtrek van de formule kan worden vereenvoudigd door eenvoudig de lengte van één van de zijden vermenigvuldigen met vier Px = KL voorbeeld 4 6 x 4 = 24 (cm).

Formule vierhoeken Vierkante

Na behandeld hoe de omtrek van een vorm met vier hoeken en zijkanten moet de meest populaire en gemakkelijke manier van het vinden van haar gebied te overwegen te vinden.

• De klassieke manier van berekening - dit is de formule S = 1/2 x gebruik LN KM x SIN LON. Het blijkt dat elk gebied van de vierhoek gelijk is aan de helft van het product van de diagonalen van de sinus van de hoek tussen hen.
• Indien het cijfer wiens gebied moeten vinden - het is een rechthoek of vierkant (de diagonaal van die altijd gelijk aan elkaar), kunnen we de formule vereenvoudigen, gebouwd in het kwadraat van de lengte van een diagonaal en vermenigvuldigen met de sinus van de hoek tussen hen en delen doormidden alle. Bijvoorbeeld: S = 1/2 CM ² x SIN LON.
• Ook wanneer de oppervlakte van een rechthoek kan helpen over de omtrek beschouwd als cijfers en de lengte van één van de zijden. / 2 - In dat geval zal het meest doelmatig de formule S = KN x (2 KN P) gebruiken.
• Bij het kwadraat van de eigenschappen maken het gebruik van verschillende andere formules om het deel. Zo kennen de omtrek vormen te gebruiken materialen variant: S = P ² / 16. En wanneer de bekende straal van de ingeschreven cirkel in een vierhoek, een vierkant gebied zeer gelijkaardige manier: S = 4r ^2. Indien de straal van de cirkel is bekend, dan kunnen andere geschikte formule: S = 2R ^2. Ook een vierkant gebied gelijk aan 0.8 lange lijn van de hoek van de figuur naar het midden van de tegenoverliggende zijde.
• Naast het bovenstaande is er ook afzonderlijke formules voor het vinden van het gebied, specifiek ontworpen om de parallellogram. Het kan worden gebruikt, indien bekend, de lengte van de twee hoogten van de figuur en de grootte van de hoek tussen hen. Dan de hoogte te vermenigvuldigen met elkaar en de sinus van de hoek tussen hen. Het is vermeldenswaard dat u deze formule kan gebruiken om alle cijfers, die betrekking hebben op de parallellogrammen (dat wil zeggen, rechthoek, ruit en vierkant).

Andere eigenschappen vierhoeken: ingeschreven en omschreven cirkels

Na bestudering van de kenmerken en eigenschappen van een vierhoek als de vorm van Euclidische meetkunde, is het de moeite waard aandacht te besteden aan de mogelijkheid om de ronde te beschrijven of voer in het volgende:

• Als de som van de tegengestelde hoeken van een figuur door honderdtachtig graden en aan elkaar gelijk zijn, is het mogelijk een cirkel te beschrijven vrij rond deze vierhoek.
• Volgens het theorema Ptolemaios, wanneer de beschreven cirkel buiten de veelhoek met vier zijden, het product van de diagonalen gelijk aan de som van de producten van de tegenoverliggende zijden van de figuur. Zo zou de formule: CM x LN = KL x Mn + LM x KN.
• Als een rechthoek, waarbij de som van de tegengestelde zijden aan elkaar gelijk maken, dan is het mogelijk een cirkel beschrijven.

Na behandeld met het feit dat een dergelijke vierhoek voor welke soorten het bestaat, welke alleen rechte hoeken tussen de partijen en welke eigenschappen ze hebben, moeten al deze dingen te onthouden. Vooral formule vinden omtrek en oppervlakte van de veelhoeken overwogen. Immers, de figuur van deze vorm - kan een van de meest voorkomende, en deze kennis te gebruiken voor de berekeningen in het echte leven.