Maclaurin en afbraak van bepaalde functies

Het bestuderen van geavanceerde wiskunde moeten zich ervan bewust dat de som van een machtreeks in het interval van convergentie van een aantal van ons, is een continu en onbeperkt aantal keren dat een gedifferentieerde functie. De vraag: is het mogelijk te zeggen dat gegeven een willekeurige functie f (x) - de som van een machtreeks? Dat wil zeggen onder welke omstandigheden de f-ties f (x) kan worden voorgesteld door een machtreeks? Het belang hiervan is dat het mogelijk is vervangen ongeveer £ Theologische f (x) is de som van de eerste termen van een machtreeks, dat een polynoom. Dergelijke vervanging functie is vrij eenvoudige uitdrukking - polynoom - handig en oplossingen voor bepaalde problemen in wiskundige analyse, namelijk het oplossen integralen berekening differentiaalvergelijkingen , etc ...

Wordt aangetoond dat voor sommige f-ii f (x), waarbij de derivaten van de (n + 1) -de orde kan worden berekend, met inbegrip van de laatste in de nabijheid van (α - R; x ₀ + R) van een punt x = α reële formule:

Deze formule is vernoemd naar de beroemde wetenschapper Brooke Taylor. Een aantal daarvan is afgeleid uit het voorgaande, wordt een Maclaurinreeksen:

Een regel die het mogelijk maakt om expansie in een Maclaurinreeksen produceren:

1. Bepalen derivaten van eerste, tweede, derde, ... order.
2. Berekenen wat derivaten bij x = 0.
3. Neem Maclaurinreeksen voor deze functie, en het interval van convergentie bepalen.
4. Bepalen interval (R, R), waarbij het restant met formule Maclaurin

_Rn (x) -> 0 voor n -> oneindig. Indien aanwezig, moet de functie f (x) gelijk aan de som van de Maclaurinreeksen zijn.

Beschouw nu de Maclaurinreeksen voor de afzonderlijke functies.

1. Aldus, als eerste wordt f (x) = e ^x. Uiteraard grond van hun kenmerken f-Ia diverse orders en f ^{(k) (x)} = e ^x, waarbij k gelijk is voor alle afgeleide natuurlijke getallen. Vervangende x = 0. Verkrijgen we f ^{(k) (0)} = ⁰ e = 1, k = 1,2 ... Gebaseerd op het voorgaande, een aantal e ^x Het ziet er als volgt:

2. Maclaurinreeksen de functie f (x) = sin x. Onmiddellijk bepaald dat F-gen voor alle onbekende derivaten zal naast f ^'(x) = cos x = sin (x + n / 2), ^{f '(x)} = sin x = sin (x + 2 * n / ²⁾ ..., f ^{(k) (x)} = sin (x + n * k / 2), waarbij k gelijk is aan een positief geheel getal. Dat wil zeggen, het maken van eenvoudige berekeningen, kunnen we concluderen dat de reeks van f (x) = sin x wordt als volgt uit:

3. Laten we nu eens kijken naar iju f-f (x) = cos x. Het is niet bekend voor alle derivaten willekeurige volgorde en ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Ook heeft hij enkele berekeningen, vinden we dat de serie voor f (x) = x cos ziet er als volgt uit:

Dus, hebben we een lijst van de meest belangrijke functies die kunnen worden uitgebreid in een Maclaurinreeksen, maar ze vullen de Taylor-serie voor sommige functies. Nu zullen we een lijst van hen ook. Ook moet worden opgemerkt dat Taylor-serie en Maclaurinreeksen zijn een belangrijk onderdeel van de workshop reeks beslissingen in hogere wiskunde. Dus, Taylor serie.

1. De eerste is een reeks f-ii f (x) = ln (1 + x). Zoals in de voorgaande voorbeelden, daarvoor hebben we f (x) = ln (1 + x) kan een getal worden gevouwen, met de algemene vorm van Maclaurinreeksen. maar voor deze functie Maclaurin kan worden verkregen veel gemakkelijker. Integreren van een geometrische reeks, verkrijgen wij een nummer voor f (x) = ln (1 + x) van het monster:

2. De tweede, welke laatste wordt in dit artikel wordt een serie voor f (x) = x arctg zijn. Voor x behoren tot het interval [-1, 1] geldt ontleding:

Dat is alles. In dit artikel heb ik de meest gebruikte Taylor-serie en Maclaurinreeksen in hogere wiskunde onderzocht, met name in de economische en technische hogescholen.