De wortels van de kwadratische vergelijking: algebraïsche en geometrische betekenis

Bij algebra vierkant wordt een tweede orde vergelijking. Door vergelijking impliceren een wiskundige uitdrukking, die in de samenstelling van een of meer onbekende heeft. Tweede-orde vergelijking - een wiskundige vergelijking met ten minste één onbekende in vierkante graden. De vierkantsvergelijking - tweede-orde vergelijking getoond identiteit met nul betekenen. Oplossen van de vergelijking kwadraat is gelijk dat de wortels van de vergelijking te bepalen. Typische kwadratische vergelijking in de algemene vorm:

W * c ^ 2 + T * c + O = 0

waarbij W, T - de coëfficiënten van de wortels van de kwadratische vergelijking;

O - vrij coëfficiënt;

c - wortel van de kwadratische vergelijking (altijd twee waarden c1 en c2).

Zoals reeds vermeld, het probleem van het oplossen van een vierkantsvergelijking - het vinden van de wortels van een vierkantsvergelijking. Om ze te vinden, moet je een discriminant te vinden:

N = T ^ 2-4 * w * O

De discriminant formules die nodig zijn voor het oplossen wortel c1 en c2:

c1 = (+ -T √N) / 2 * W en c2 = (-T - √N) / 2 * W

Als de kwadratische vergelijking van de algemene vormfactor ten grondslag aan T een meervoudige waarde, wordt de vergelijking vervangen door:

W * c ^ 2 + 2 * U * c + O = 0

En zijn wortels eruit zien als de uitdrukking:

c1 = [-U + √ (U ^ 2-w * O)] / W en c2 = [-U - √ (U ^ 2-w * O)] / W

Vaak vergelijking kan enigszins anders uitzien wanneer C_2 geen coëfficiënt W. In dit geval hebben de bovenstaande vergelijking heeft de vorm:

c ^ 2 + F * c + L = 0

waarin F - factor ten grondslag;

L - gratis factor;

c - wortel van het kwadraat (altijd twee waarden c1 en c2).

Dit type vergelijking wordt een vierkantsvergelijking gegeven. De naam "verlaagd" ging van formule activering typische vierkantsvergelijking, indien de coëfficiënt van W wortel heeft de waarde één. In dit geval, de wortels van de kwadratische vergelijking:

c1 = -F / 2 + √ [(F / 2) ^ 2-L)] en c2 = -F / 2 - √ [(F / 2) ^ 2-l)]

Bij even waarden van de coëfficiënt van de F wortel wortels een oplossing hebben:

c1 = -F + √ (F ^ 2 liter) c2 = -F - √ (F ^ 2-l)

Als we praten over vierkantsvergelijkingen, is het nodig om het te herinneren stelling van Vieta. Zij stelt dat de volgende wetten voor de gereduceerde vierkantsvergelijking:

c ^ 2 + F * c + L = 0

c1 + c2 = -F c1 en c2 * = L

Algemeen vierkantsvergelijking vierkantsvergelijking wortels gerelateerde afhankelijkheden:

W * c ^ 2 + T * c + O = 0

c1 + c2 = -T / W en c1 = c2 * O / W

Beschouw nu de opties van kwadratische vergelijkingen en hun oplossingen. Ieder van hen kan twee, als lid van C_2 ontbreekt, dan de vergelijking niet vierkant zijn. daarom:

1. W * c ^ 2 + T * c = 0 van de kwadratische vergelijking uitvoeringsvorm zonder vrije factor (lid).

De oplossing is:

W * c ^ 2 = -T * c

c1 = 0, c2 = -T / W

2. W * c ^ 2 + O = 0 van de kwadratische vergelijking uitvoeringsvorm zonder de tweede term, wanneer dezelfde modulo de wortels van de kwadratische vergelijking.

De oplossing is:

W * c ^ 2 = -O

c1 = √ (O / W), c2 = - √ (O / W)

Dit alles was algebra. Beschouw de geometrische betekenis waarvan een kwadratische vergelijking. de tweede orde vergelijking in de geometrie wordt beschreven door een parabool functie. heel vaak de taak is om de wortels van een vierkantsvergelijking voor middelbare scholieren te vinden? Deze wortels geeft het begrip hoe de grafiekfunctie (parabool) met coordinaatas snijden - de horizontale. Als de vierkantsvergelijking gelet op de beslissing, de irrationele beslissing van de wortels krijgen we, dan is de kruising niet. Indien de wortel heeft een fysische grootheid, de functie kruist de x-as op een plaats. Als de twee wortels dan respectievelijk - twee snijpunten.

Het is vermeldenswaard dat in het kader van de irrationele wortels zorgen voor een negatieve waarde onder de wortel, aan de wortel te vinden. Fysieke waarde - elke positieve of negatieve waarde. Bij het vinden van slechts één nulpunt dat de wortels daarvan. De oriëntatie van de bocht in een Cartesiaans coördinatensysteem kan ook vooraf worden bepaald door de coëfficiënten van W wortels en T. Als W een positieve waarde, worden de twee takken van de parabool naar boven gericht. Als W een negatieve waarde, - beneden. Ook als de coëfficiënt B een positief teken heeft, waarbij W is positief, de top van de parabool functie in de "y" van "-" naar oneindig "+" oneindig "c" in het bereik van min oneindig tot nul. Indien T - positieve waarde, en W - negatief aan de andere zijde van de abscis.