FormatieVoortgezet onderwijs en scholen

Een stelsel van lineaire algebraïsche vergelijkingen. Homogeen systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen

Op school, ieder van ons bestudeerde de vergelijking en, zeker, het stelsel van vergelijkingen. Maar niet veel mensen weten dat er verschillende manieren om ze op te lossen. Vandaag zullen we precies alle methoden zien voor het oplossen van een stelsel van lineaire algebraïsche vergelijkingen, die zijn samengesteld uit meer dan twee vergelijkingen.

verhaal

Vandaag weten we dat de kunst van het oplossen van vergelijkingen en hun systemen ontstaan in het oude Babylon en Egypte. Echter, gelijkheid in hun vertrouwde vorm leek ons na het optreden van de gelijk-teken "=", die in 1556 werd geïntroduceerd door Engels wiskundige record. Trouwens, was dit symbool gekozen om een reden: het betekent twee evenwijdige gelijke segmenten. Inderdaad, het beste voorbeeld van gelijkheid niet komen.

De grondlegger van de moderne letters en symbolen van onbekende omvang, de Franse wiskundige Fransua Viet. Echter, de aanwijzing is significant verschillend van vandaag. Bijvoorbeeld, een kwadraat van een onbekend aantal hij aangeduid met de letter Q (lat "quadratus".), En de kubus - (lat. "Cubus") de letter C. Deze symbolen lijken nu ongemakkelijk, maar toen was het de meest intuïtieve manier om een stelsel van lineaire algebraïsche vergelijkingen te schrijven.

Nadelig bij de gangbare werkwijzen oplossing wiskundigen alleen de positieve wortels overwogen. Misschien is dit te wijten aan het feit dat negatieve waarden geen praktische toepassing hebben. Op een of andere manier, maar de eerste te worden beschouwd negatieve roots begon na de Italiaanse wiskundige Niccolo Tartaglia, Girolamo Cardano en Raphael Bombelli in de 16e eeuw. Een moderne look, de belangrijkste methode voor het oplossen vierkantsvergelijkingen (via discriminant) is opgericht pas in de 17e eeuw door de werken van Descartes en Newton.

In het midden van de 18e eeuw Zwitserse wiskundige gevonden Gabriel Cramer een nieuwe manier om het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen gemakkelijker te maken. Deze methode werd later naar hem vernoemd, en tot op de dag dat we het gebruiken. Maar over de wijze van praten Kramer is een beetje later, maar voor nu we zullen lineaire vergelijkingen en hun oplossingen afzonderlijk bespreken uit het systeem.

lineaire vergelijkingen

Lineaire vergelijkingen - de eenvoudigste vergelijking met variabele (n). Ze behoren tot de algebraïsche. Lineaire vergelijkingen geschreven in de algemene vorm als volgt: * 1 x 1 + 2 * x 2 + ... en n * x n = b. Indiening van dit formulier zullen we nodig hebben bij de voorbereiding van systemen en matrices op.

Een stelsel van lineaire algebraïsche vergelijkingen

De definitie van deze term: een stel vergelijkingen die gemeenschappelijk onbekenden en de algemene oplossing hebben. Typisch, op school allemaal opgelost een systeem met twee of zelfs drie vergelijkingen. Maar er zijn systemen met vier of meer componenten. Laten we eens kijken eerst hoe ze naar beneden, zodat later was het handig om op te lossen te schrijven. Ten eerste zal het stelsel lineaire algebraïsche vergelijkingen beter uitzien als alle variabelen x met het corresponderende index geschreven: 1,2,3 enzovoort. Ten tweede dient deze alle vergelijkingen met de canonieke vorm: a * 1 x 1 + 2 * x 2 + ... en n * x n = b.

Na al deze stappen, kunnen we beginnen om u te vertellen hoe de oplossing van stelsels lineaire vergelijkingen te vinden. Erg veel voor dat zal van pas komen matrix.

matrix

Matrix - een tabel die bestaat uit rijen en kolommen, en de elementen zijn op hun kruispunt. Dit kan een specifieke waarde of variabel zijn. Meestal elementen die zijn aangebracht onder de subscripts (bijvoorbeeld een 11 of 23 well) wijzen. De eerste index geeft het rijnummer en de tweede - de kolom. Boven matrices zoals hierboven beschreven en alle andere wiskundige element kan verschillende bewerkingen uit te voeren. Zo kunt u:

1) Trek en voeg dezelfde grootte van de tabel.

2) Vermenigvuldig de matrix een nummer of vector.

3) Omzetting: transformatiematrix lijnen in de kolommen en de kolommen - overeenkomstig.

4) Vermenigvuldig de matrix, wanneer het aantal rijen gelijk is aan één van hen een verschillend aantal kolommen.

In detail te bespreken al deze technieken, omdat ze nuttig voor ons in de toekomst zijn. Aftrekken en toevoeging van matrices is zeer eenvoudig. Aangezien wij even groot matrix, elk element van een tabel is gerelateerd aan elk ander element. Zo voegen wij (subtractie) twee van deze elementen (het is belangrijk dat ze zich op dezelfde grond in de matrices). Vermenigvuldigd met het aantal matrix of vector u vermenigvuldigt elk element van de matrix met dat aantal (of vector). Omzetting - een zeer interessant proces. Zeer interessant soms om hem te zien in het echte leven, bijvoorbeeld bij het veranderen van de oriëntatie van een tablet of telefoon. De pictogrammen op het bureaublad is een matrix en een positieverandering wordt omgezet en breder, maar neemt in de hoogte.

Laten we eens kijken meer een proces, zoals matrixvermenigvuldiging. Hoewel hij vertelde ons, en is niet nuttig, maar wees gewaarschuwd dat het is altijd handig. Vermenigvuldigen twee matrices kan slechts onder de voorwaarde dat het aantal kolommen in een tabel gelijk is aan het aantal andere rijen. Tegenwoordig op matrixlijn elementen en andere elementen van de corresponderende kolom. Vermenigvuldigen met elkaar en vervolgens som (: a * b 11 12 + 12 * b en 22 dus bijvoorbeeld alle elementen 11 en 12 en 12b en 22b gelijk zijn). Aldus wordt één tabelitem en een werkwijze vergelijkbaar met het verder gevuld.

Nu kunnen we beginnen na te gaan hoe stelsels lineaire vergelijkingen op te lossen.

gauss

Dit thema begon plaats te vinden op school. We weten heel goed het begrip "stelsel van twee lineaire vergelijkingen" en weten hoe ze op te lossen. Maar wat als het aantal vergelijkingen groter is dan twee? Dit zal ons helpen Gauss-methode.

Natuurlijk, deze methode is handig in gebruik, als u een matrix van het systeem. Maar je kunt het niet omzetten en beslissen over zijn eigen.

Dus, hoe het op te lossen door een systeem van lineaire vergelijkingen Gauss? By the way, ook al is deze methode en naar hem vernoemd, maar ontdekte dat het in de oudheid. Gauss wordt geopereerd met de vergelijkingen uitgevoerd uiteindelijk leiden tot de totaliteit trapvorm. Dat wil zeggen, moet je top-down (indien correct plaatsen) van de eerste tot de laatste vergelijking taande een onbekende. Met andere woorden, moeten we ervoor zorgen dat we hebben, laten we zeggen, drie vergelijkingen: de eerste - drie onbekenden, in de tweede - twee in de derde - een. Vervolgens werd de laatste vergelijking, vinden we de eerste onbekende plaats de waarde in de tweede of de eerste vergelijking, en de resterende twee variabelen verdere voorbeeld.

Regel van Cramer

Voor de ontwikkeling van deze techniek is van vitaal belang om de vaardigheden van de toevoeging onder de knie, aftrekken van matrices, alsmede de noodzaak om te kunnen determinanten vinden. Daarom, als u zich ongemakkelijk dit alles te doen zijn of niet weten hoe, is het noodzakelijk om te leren en worden opgeleid.

Wat is de essentie van deze methode, en hoe dit te doen, om een stelsel van lineaire vergelijkingen Cramer krijgen? Het is heel simpel. We moeten een matrix van getallen te bouwen (bijna altijd) de coëfficiënten van een stelsel van lineaire algebraïsche vergelijkingen. Om dit te doen, neem dan gewoon het nummer van het onbekende, en we regelen een tafel in de volgorde waarin ze zijn opgenomen in het systeem. Indien vóór het nummer een "-" teken, dan schrijven we een negatieve coëfficiënt. Dus hebben we de eerste matrix van de coëfficiënten van de onbekenden, exclusief het getal na het gelijkteken (natuurlijk, dat de vergelijking moet worden gereduceerd tot de canonieke vorm wanneer de juiste is maar een getal, en de linker - alle onbekenden met coëfficiënten). Dan moet je een paar matrices te maken - één voor elke variabele. Daarvoor in de eerste matrix wordt vervangen door één kolom per kolomnummers met de coëfficiënten na het gelijkteken. Zo krijgen we een paar matrices en vinden vervolgens hun determinanten.

Nadat we de qualifiers gevonden, het is klein. We hebben een eerste matrix, en er zijn verschillende afgeleide matrices die overeenkomen met verschillende variabelen. Om een systeem oplossing te krijgen, verdelen we de determinant van de resulterende tabel op de primaire determinant van de tafel. Het resulterende getal is de waarde van een variabele. Op dezelfde manier vinden we alle onbekenden.

andere methoden

Er zijn verschillende manieren om het oplossen stelsels lineaire vergelijkingen te verkrijgen. Bijvoorbeeld een zogenaamde Gauss-Jordan methode, die wordt gebruikt voor het oplossen van het stelsel van kwadratische vergelijkingen, maar ook betrekking op het gebruik van matrices. Er is ook een Jacobi werkwijze voor het oplossen van een stelsel lineaire algebraïsche vergelijkingen. Hij past zich gemakkelijk aan alle computers en wordt gebruikt bij het berekenen.

gecompliceerde gevallen

Complexiteit gebeurt meestal als het aantal vergelijkingen kleiner dan het aantal variabelen. Dan kunnen we zeker zeggen dat, of het systeem is inconsistent (dat wil zeggen, heeft geen wortels), of het aantal van haar besluiten heeft de neiging tot oneindig. Als we het tweede geval - is het noodzakelijk om de algemene oplossing van het stelsel van lineaire vergelijkingen te schrijven. Zal ten minste één variabel omvatten.

conclusie

Hier komen we tot het einde. Om samen te vatten: we moeten begrijpen wat het systeem matrix, geleerd om de algemene oplossing van een stelsel lineaire vergelijkingen te vinden. Daarnaast hebben wij andere opties. We bedacht hoe stelsels lineaire vergelijkingen op te lossen: Gauss-eliminatie en Regel van Cramer. We spraken over moeilijke gevallen en andere manieren van het vinden van oplossingen.

In feite is dit probleem is veel uitgebreider, en als je wilt beter te begrijpen, raden wij u aan meer van de gespecialiseerde literatuur te lezen.

Similar articles

 

 

 

 

Trending Now

 

 

 

 

Newest

Copyright © 2018 birmiss.com. Theme powered by WordPress.