Meetkundige reeks. VOORBEELD beslissing

Overweeg een rij.

7 28 112 448 1792 ...

Duidelijk zien dat de waarde van een van de elementen meer dan de vorige precies vier keer. Dus, deze serie is een progressie.

meetkundige reeks zogenaamde oneindige reeks getallen, het belangrijkste kenmerk daarvan is dat het nummer van het bovenstaande wordt verkregen door het vermenigvuldigen door een bepaald aantal. Dit wordt uitgedrukt door de volgende formule.

_{z 1 z = a · q} , waarbij z - nummer van het geselecteerde element.

Dienovereenkomstig z ∈ N.

Een tijd waarin de school wordt bestudeerd meetkundige reeks - 9de rang. Voorbeelden zal helpen begrijpen het concept:

0,25 0,125 0,0625 ...

18 6 2 ...

Berekening volgt, kan de voortgang van de noemer als volgt worden gevonden:

Noch q of _bz kan niet nul zijn. Tevens is elk van de elementen van een reeks getallen progressie niet nul.

Bijgevolg de volgende aantal verschillende zien, vermenigvuldigt deze met q.

Om deze progressie te definiëren, moet u het eerste element van het en de noemer op te geven. Daarna is het mogelijk om één van de volgende leden en hun bedrag te vinden.

species

Afhankelijk van de q en een _1, wordt deze vooruitgang onderverdeeld in verschillende types:

• Als _{1 en} q groter is dan één, dan is een opeenvolging - toeneemt met elke opeenvolgende element van een meetkundige reeks. Voorbeelden hiervan worden hierna beschreven.

Bijvoorbeeld: ₁ = 3, q = 2 - groter dan één, beide parameters.

Dan is een reeks getallen kan worden geschreven als:

3 6 12 24 48 ...

• Als | q | minder dan één, dat wil zeggen, is equivalent aan vermenigvuldiging door deling, de progressie met gelijke omstandigheden - afnemende meetkundige. Voorbeelden hiervan worden hierna beschreven.

Bijvoorbeeld: ₁ = 6, q = 1/3 - ₁ groter dan één, q - minder.

Dan is een reeks getallen kan als volgt worden geschreven:

2 juni 2/3 ... - een element meer elementen daarop volgende, 3 keer.

• Wisselende. Als q <0, de tekens van de nummers van de reeks afwisselende constant ongeacht _1, en de elementen van elke verhoging of verlaging.

Bijvoorbeeld: ₁ = -3, q = -2 - beide kleiner dan nul.

Dan is een reeks getallen kan worden geschreven als:

3, 6, -12, 24, ...

formule

Voor comfortabel gebruik, zijn er vele meetkundige rij met de formules:

• Formule z-ste termijn. Het laat de berekening van het element in een specifiek nummer zonder de berekening van de vorige nummers.

Voorbeeld: q = 3, a = ₁ 4. verplicht een vierde element progressie berekenen.

Oplossing: a = ₄ 4 3 · ^4-1 · 3 = 4 = ³ 4 · 27 = 108.

• De som van de eerste elementen, waarvan het aantal gelijk is aan z. Het laat de berekening van de som van alle elementen in een sequentie om een _z inclusive.

≠ 0, dus q is 1 - (q1) Aangezien (1- q) in de noemer, dan.

Opmerking: Als q = 1, dan is het verloop zou hebben een aantal eindeloos herhalen gerepresenteerde.

Hoeveelheid exponentieel voorbeelden: ₁ = 2, q = -2. Bereken _S5.

Oplossing: _S5 = 22 - berekeningsformule.

• Bedrag als | q | <1 en wanneer z naar oneindig.

Bijvoorbeeld: ₁ = _2, q = 0,5. Zoek de som.

Oplossing: S _z = x 2 = 4

Als we de som van de verschillende leden van de handleiding te berekenen, zult u zien dat het inderdaad streeft naar vier.

S _z = 1 + 2 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 = 3,9375 4

Enkele eigenschappen:

• Een kenmerkende eigenschap. Als de volgende voorwaarde Geldt voor alle z, vervolgens een getallenreeks - een meetkundige reeks:

a _^Z2 A = _z1 · A _{z + 1}

• Ook is het kwadraat van een getal exponentieel middels toevoeging van de kwadraten van de twee andere getallen in een bepaalde rij, wanneer zij op gelijke afstand van het element.

² a _{z z} = a _{- ^t2 + z} + _^t2 waarin t - de afstand tussen deze getallen.

• De elementen verschillen q maal.
• De logaritmen van de elementen van de progressie vormen ook een vooruitgang, maar het rekenkundig, d.w.z. elk van hen meer dan de vorige met een bepaald getal.

Voorbeelden van enkele klassieke problemen

Om beter te begrijpen wat een meetkundige reeks, met de beslissing voorbeelden voor rang 9 kan helpen.

• Voorwaarden: ₁ = 3, a = ₃ 48 Zoeken q.

Oplossing: elk volgend element meer dan het q tijd. Er moet een aantal elementen via andere via noemer drukken.

Bijgevolg is een ₃ = ^q2 · a ₁

Bij vervanging q = 4

• Voorwaarden: _a2 = 6, a = ₃ 12. Bereken _S6.

Oplossing: Hiervoor volstaat q, het eerste element en vervanging te vinden in de formule.

₃ = q · _{2 derhalve} q = 2

_a2 = q · A _1, zodat a = ₁ 3

S = ₆ 189

• · A ₁ = 10, q = -2. Vind het vierde element van progressie.

Oplossing: het is genoeg om de vierde element uit te drukken door de eerste en door de noemer.

₄ a ³ = q · a = ₁ -80

Toepassingsvoorbeeld:

• Bankklant is de som van 10.000 roebels, waarbij elk jaar de cliënt hoofdsom wordt 6% van het al bijgedragen toegevoegd. Hoeveel geld is op de rekening na 4 jaar?

Oplossing: Het oorspronkelijke bedrag dat gelijk is aan 10 duizend roebel. Dus, een jaar na de investeringen in de rekening van het bedrag dat gelijk is aan 10.000 + 10.000 = 10.000 · 0,06 · 1,06 zijn

Dienovereenkomstig, het bedrag in de rekening, zelfs na een jaar zal worden uitgedrukt als volgt:

(10000 · 1,06) · 10000 · 0,06 + 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

Dat wil zeggen dat elk jaar wordt het bedrag verhoogd tot 1,06 keer. Vandaar dat het nummer van het account staat na 4 jaar, kan worden volstaan met een vierde element progressie, welk eerste element gelijk is aan 10000 en de noemer gelijk aan 1,06 te vinden.

S = 1,06 · 1,06 · 1,06 · 1,06 · 10000 = 12625

Voorbeelden van problemen in de berekening van de som van:

In diverse problemen bij het gebruik meetkundige reeks. Een voorbeeld van het vinden van de som kan als volgt worden ingesteld:

₁ = 4, k = 2, berekenen _S5.

Oplossing: alle benodigde gegevens voor de berekening bekend, eenvoudig vervangen ze in de formule.

_S5 = 124

• _a2 = 6, a = ₃ 18. Bereken de som van de eerste zes elementen.

oplossing:

De Geom. de voortgang van elk element van de volgende groter dan de vorige q tijden, dat wil zeggen, om het bedrag te berekenen die u nodig hebt om het element ₁ en de noemer q kennen.

een ₂ · q = ₃

q = 3

Ook de noodzaak om een _{1, 2} en q weten te vinden.

₁ · q = _a2

₁ = 2

En vervolgens voldoende aan de bekende gegevens substitueren in formule bedrag.

_S6 = 728.